Page 30 - Engineering

‫ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﻭﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ‪١٧‬‬

‫‪l‬‬

‫‪mx‬‬
‫‪y‬‬

‫‪nz‬‬

‫اﻵن‪ ɵx = ɵz :‬ﺑﺎﻟﺘﻨﺎﻇﺮ و ‪ ɵy = ɵz‬ﺑﺎﻟﺘﻘﺎﺑﻞ ﺑﺎﻟﺮأس‪ .‬إذن‪.xɵ = ɵy ،‬‬

‫ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ )‪ :(٩‬إذا ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﲔ وﻛﺎﻧﺖ اﻟﺰاوﻳﺘﺎن اﻟﺘﺒﺎدﻟﻴﺘﺎن داﺧﻠﻴﺎً‬
‫ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﲔ ﻓﺈن اﳌﺴﺘﻘﻴﻤﲔ ﻣﺘﻮازﻳﺎن‪.‬‬

‫اﻟﺒﺮﻫﺎن‪ :‬ﻟﻨﻔﺮض أن ‪ l‬ﻗﻄﻊ اﳌﺴﺘﻘﻴﻤﲔ ‪ m‬و ‪ n‬وﻛﺎن ‪ ɵx = ɵy‬ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ ﰲ‬
‫اﻟﺸﻜﻞ اﳌﺮﻓﻖ ﻣﻊ اﳌﱪﻫﻨﺔ )‪ .(٨‬ﻋﻨﺪﺋﺬ‪) ɵx = ɵz ،‬ﻷن ‪ ɵy = ɵz‬ﺑﺎﻟﺘﻘﺎﺑﻞ ﺑﺎﻟﺮأس(‪.‬‬

‫وﲟﺎ أن ‪ xɵ‬و ‪ ɵz‬ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺗﺎن ﻓﺈن ‪.m n‬‬

‫ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ )‪ :(١٠‬ﻟﻨﻔﺮض أن اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ l‬ﻳﻘﻄﻊ ﻛﻼً ﻣﻦ اﳌﺴﺘﻘﻴﻤﲔ ‪ m‬و ‪ n‬وﻛﺎن‬
‫‪ m n‬و ‪ .l ⊥ n‬ﻋﻨﺪﺋﺬ‪ .l ⊥ m ،‬وﺑﺎﻟﻌﻜﺲ‪ ،‬إذا ﻛﺎن ‪ l ⊥ m‬و ‪ l ⊥ n‬ﻓﺈن‬

‫‪.m n‬‬

‫ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ )‪ :(١١‬إذا ﻗﻄﻊ اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ l‬ﻛﻼً ﻣﻦ اﳌﺴﺘﻘﻴﻤﲔ ‪ m‬و ‪ n‬وﻛﺎﻧﺖ ‪ xɵ‬و ‪ɵy‬‬
‫زاوﻳﺘﲔ داﺧﻠﻴﺘﲔ واﻗﻌﺘﲔ ﻋﻠﻰ اﳉﻬﺔ ﻧﻔﺴﻬﺎ ﻣﻦ اﻟﻘﺎﻃﻊ ﻓﺈن ‪ m n‬إذا وﻓﻘﻂ إذا‬

‫ﻛﺎن ‪.ɵx + ɵy = 180°‬‬

‫ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ )‪ :(١٢‬ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻏﲑ واﻗﻌﺔ ﻋﻠﻰ اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ l‬ﳝﻜﻦ إﻧﺸﺎء ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ‬
‫ﻳﻮازي ‪ l‬وﳝﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ‪.A‬‬