Page 178 - Engineering

‫ﺍﳌﻀﻠﻌﺎﺕ ‪١٦٥‬‬

‫اﻟﺒﺮﻫﺎن‪ :‬ﻟﻨﻔﺮض أن ‪ O‬ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻼﻗﻲ اﻟﻘﻄﺮﻳﻦ ‪ AC‬و ‪ BD‬ﰲ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ اﶈﺪب‬
‫‪ ABCD‬ﺣﻴﺚ ‪ OA = OC‬و ‪ .OB = OD‬ﻋﻨﺪﺋﺬ‪،‬‬

‫‪DC‬‬

‫‪O‬‬
‫‪AB‬‬

‫‪ .△AOB ≡ △COD‬وﻣﻦ ذﻟﻚ ‪ ABO = CDO‬و ‪ .DCO = OAB‬أي أن‬
‫‪ AB DC‬وﺑﺎﳌﺜﻞ ‪ .AD BC‬و‪‬ﺬا ﻓﺈن ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع‪.‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ]‪[Area of Parallelogram‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﻓﺈن اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻣﻦ أﺣﺪ رؤوﺳﻪ إﱃ اﻟﻀﻠﻊ )أو‬
‫اﻣﺘﺪاد اﻟﻀﻠﻊ( اﳌﻘﺎﺑﻞ ﻟﻠﺮأس ﻳﺴﻤﻰ ارﺗﻔﺎع )‪ (altitude‬ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع‪.‬‬

‫‪FD‬‬ ‫‪EC‬‬

‫‪hh‬‬
‫‪AB‬‬

‫ﻛﻞ ﻣﻦ ‪ AF‬و ‪ BE‬ارﺗﻔﺎع‪ .‬ﰲ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ‪ ،‬ﻛﻞ ﻣﻦ ‪ DC‬و ‪ AB‬ﻳﺴﻤﻰ ﻗﺎﻋﺪة‪.‬‬

‫ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ )‪ :(١٠‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ﺗﺴﺎوي ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد وﻃﻮل‬
‫اﻟﻘﺎﻋﺪة اﻟﻨﺎزل ﻋﻠﻴﻬﺎ‪.‬‬

‫اﻟﺒﺮﻫﺎن‪ :‬ﻧﻔﺮض أن ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع وأن ‪ EB‬ﻫﻮ اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻋﻠﻰ‬
‫اﻟﻘﺎﻋﺪة ‪ DC‬ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ ﰲ اﻟﺸﻜﻞ اﳌﺮﺳﻮم ﻗﺒﻞ ﻧﺺ اﳌﱪﻫﻨﺔ‪.‬‬

‫ﺳﻨﱪﻫﻦ أن ‪ .[ABCD] = h × DC‬ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ‪ ،‬ﳒﺪ أن ‪.△BEC ≡ △AFD‬‬

‫ﻣﻦ ذﻟﻚ ﳒﺪ أن ] ‪ .[ABCD] = [ABEF‬اﻵن‪ ،‬ﺑﺮﺳﻢ اﻟﻘﻄﺮ ‪ BF‬ﳒﺪ أن‬