Page 68 - Engineering

‫ﺍﳌﺜﻠﺜﺎﺕ ‪٥٥‬‬

‫ﻛﻤﺎ ﻫﻮ اﳊﺎل ﻟﻠﻤﺘﻮﺳﻄﺎت ﻓﺈن ﻣﻨﺼﻔﺎت اﻟﺰواﻳﺎ ﺗﻠﺘﻘﻲ ﰲ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة وﻫﺬا ﻓﺤﻮى‬
‫اﳌﱪﻫﻨﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪.‬‬

‫ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ )‪:(٣‬ﺗﺘﻼﻗﻰ ﻣﻨﺼﻔﺎت زواﻳﺎ ﻣﺜﻠﺚ ﰲ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة‪.‬‬

‫اﻟﺒﺮﻫﺎن‪ :‬ﻟﻨﻔﺮض أن ‪ H‬ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﳌﻨﺼﻔﲔ ‪ AE‬و ‪ .DC‬ﲟﺎ أن ‪ H‬ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ‬

‫‪ AE‬ﻓﺈ‪‬ﺎ ﺗﺒﻌﺪ ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ ﻋﻦ ‪B‬‬

‫‪ AB‬و ‪ .AC‬وﲟﺎ أن ‪ H‬ﺗﻘﻊ‬

‫ﻋﻠﻰ ‪ DC‬ﻓﺈ‪‬ﺎ ﺗﺒﻌﺪ ﻣﺴﺎﻓﺔ ‪D E‬‬

‫ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ ﻋﻦ ‪ AC‬و ‪ .BC‬وﻟﺬا‬
‫ﻓﻬﻲ ﺗﺒﻌﺪ ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ ﻋﻦ ‪H C AB‬‬
‫و ‪ .BC‬إذن‪ H ،‬ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ‬
‫‪AF‬‬

‫ﻣﻨﺼﻒ اﻟﺰاوﻳﺔ ‪ .ABC‬و‪‬ﺬا ﻓﻤﻨﺼﻔﺎت اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﺜﻼث ﺗﺘﻼﻗﻰ ﰲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪.H‬‬

‫ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ]‪[Triangle Inequality‬‬

‫ﺗﻨﺺ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ اﳌﺜﻠﺚ ﻋﻠﻰ أن ﳎﻤﻮع ﻃﻮﱄ أي ﺿﻠﻌﲔ ﰲ اﳌﺜﻠﺚ ﳚﺐ أن ﻳﻜﻮن أﻛﱪ‬

‫ﻣﻦ ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ .‬أي‪ ،‬ﰲ اﳌﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪A‬‬

‫‪bc‬‬ ‫‪a <b +c‬‬
‫‪b <a +c‬‬

‫‪Ca‬‬ ‫‪c <a +b‬‬
‫‪B‬‬

‫أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﳎﻤﻮع ﻃﻮﱄ ﺿﻠﻌﲔ ﰲ اﳌﺜﻠﺚ ﻳﺴﺎوي ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻓﻴﺴﻤﻰ اﳌﺜﻠﺚ‬
‫ﻣﺜﻠﺜﺎً ُﻣ ْﻀ َﻤ ِﺤﻼً )‪ .(degenerate‬أي أن اﻟﺮؤوس اﻟﺜﻼﺛﺔ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة‪.‬‬